En images

Nous présentons ici des images inspirées de recherches effectuées à l'UR Mathematics. Celles-ci sont accompagnées d'un petit texte explicatif et d'un lien vers la publication scientifique correspondante.

Paroles, paroles, paroles

« Paroles, paroles, paroles » chantaient Dalida et Alain Delon en 1973. La combinatoire des mots étudie la structure et les propriétés des mots abstraits. Dans ce contexte, un mot est simplement une suite de lettres. Ces mots sont abstraits car, par rapport aux mots de la vie de tous les jours, ils n’ont pas spécialement de signification.

Dès 1912 avec Axel Thue, les chercheurs se sont intéressés à des mots qui évitent certains motifs prescrits. En français, le mot bonbon est un carré car il s’écrit comme la concaténation du mot bon deux fois. On s’intéresse plus généralement aux puissances naturelles et même fractionnaires. En français, le mot entente est une puissance fractionnaire 7/3 du mot ent car il s'écrit ent · ent · e : on utilise l’entièreté du mot ent deux fois et pour le reste, on n’en prend que les 1/3, d’où 7/3 du mot ent au total. La recherche sur l’évitabilité de motifs trouve des applications : il est possible de détecter certaines maladies en observant les motifs présents dans l’ADN qui n'est autre qu'un mot sur les quatre lettres A, C, G et T.

Eric Rowland et Manon Stipulanti déterminent la structure du plus petit (au sens lexicographique) mot infini évitant les puissances 5/4. L’image présentée est un préfixe de ce mot infini où les lettres sont coloriées en fonction de leur valeur. Déterminer sa structure a été un réel défi tant mathématique qu’informatique. En effet, le chercheurs ont développé du code en Mathematica non seulement pour donner de l’intuition sur les phénomènes apparaissant, mais aussi pour assister les vérifications mathématiques.

E. Rowland, M. Stipulanti, Avoiding 5/4-powers on the alphabet of nonnegative integers, Electron. J. Combin. 27 (2020) no. 3, Paper 3.42, 39 pp.

Le sculpteur

Lorsqu’on étudie le comportement d’une protéine, comme la guanylate kinase de la levure Saccharomyces cerevisiae, on s’intéresse à ses mouvements. Ces mouvements peuvent être calculés avec des modèles mathématiques pour mieux comprendre comment la protéine change de forme lorsqu’elle fonctionne. Par exemple, en calculant les « modes de vibration » de la protéine (c’est-à-dire les façons dont elle peut bouger), on peut découvrir des indices sur son rôle biologique.

Pour simplifier ces calculs, on utilise souvent un modèle de réseau élastique. Ce modèle représente la protéine comme un ensemble d’atomes reliés entre eux par des liens qui agissent comme des ressorts. Samuel Nicolay et Yves-Henri Sanejouand ont testé ce modèle avec différents critères, notamment en fixant une distance maximale entre les atomes liés. Résultat : les modes de vibration calculés avec un modèle simplifié décrivent tout aussi bien les changements de forme de la protéine que des modèles plus détaillés. Cela montre que, même avec une approche plus « grossière », on peut extraire des informations pertinentes sur le comportement de la protéine.

Ces chercheurs ont ensuite modifié ce modèle en fixant non plus une distance, mais en s’assurant que chaque atome ait un nombre constant de liens avec ses voisins (ce qu'ils ont appelé "l'algorithme du sculpteur").

Cette approche produit des résultats tout aussi fiables, voire plus efficaces pour comprendre les mouvements des protéines.

En étudiant de nombreux cas, ils ont trouvé que certaines vibrations, ou modes, sont très robustes : elles restent pratiquement inchangées même si l’on simplifie les calculs. Ces modes de basse fréquence sont souvent ceux impliqués dans les grands changements de forme des protéines, comme le passage d’une conformation à une autre lors de leur fonction.

Ainsi, en observant les mouvements de la protéine sous l’angle des modes de vibration, on peut identifier ceux qui sont essentiels pour son activité. En fin de compte, cela montre que la façon dont les masses des atomes de la protéine sont réparties dans l’espace est une information clé pour comprendre son fonctionnement.

S. Nicolay, Y.-H. Sanejouand, Functional modes of proteins are among the most robust, Physical Review Letters 96 (2004), p. 078104

Pyramide pascalienne

La combinatoire s’intéresse aux configurations de collections d’objets. Elle se développe significativement à partir du 17ème siècle en lien avec le calcul des probabilités. On l'étudie dès l’école secondaire. Par exemple, on apprend à compter le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, ce qu’on appelle le coefficient binomial de k et n. Ainsi, il existe 10 façons de choisir deux personnes parmi 5. Lorsqu'on ordonne ces coefficients binomiaux dans un tableau, on obtient le triangle de Pascal. Celui-ci a fait l’objet de nombreuses études tant il recèle de propriétés remarquables.

Dans leur travail, Pierre Mathonet, Michel Rigo, Manon Stipulanti et Naïm Zénaïdi inspectent le triangle de Pascal "modulo" un nombre premier p (on prend le reste de la division par un entier p fixé). Ils étudient les propriétés combinatoires de suites apparaissant dans ce triangle. Par le biais de généralisations du triangle de Pascal aux dimensions supérieures, les auteurs s’intéressent alors à la pyramide de Pascal représentée ici. Les cubes sont colorés selon la valeur modulo p=5 du coefficient (trinomial) correspondant.

P. Mathonet, M. Rigo, M. Stipulanti, N. Zénaïdi, On digital sequences associated with Pascal’s triangle, Aequationes Math. 97 (2023), 391–423.

Rugosité

La fonction de Brjuno est un concept fascinant des mathématiques, au carrefour de la théorie des nombres et des systèmes dynamiques. Elle joue un rôle crucial dans l’analyse des rotations sur le cercle et d’autres phénomènes complexes.

Une propriété surprenante de cette fonction est qu’elle n’est nulle part localement bornée. Cela signifie qu’elle peut devenir infiniment grande, quelle que soit la taille de l’intervalle observé. En particulier, elle diverge vers l’infini pour chaque nombre rationnel.

B. Martin et S. Jaffard ont révélé une caractéristique remarquable de la fonction : en chaque nombre irrationnel x, plus x est bien approximable par des rationnels, plus la fonction perd en régularité. En termes simples, la « rugosité » de la fonction reflète directement la complexité irrationnelle des nombres, tissant un lien profond entre théorie des approximations et analyse mathématique.

Cette fonction, intimement liée à la fonction de Gauss définie à l’aide de la partie entière d’un nombre, a récemment été revisitée dans un autre cadre. T. Lamby, B. Martin et S. Nicolay ont exploré une variante où la partie entière est remplacée par la notion d’entier le plus proche. À leur grande surprise, ils ont découvert que cette version modifiée présente une régularité identique à celle de la fonction de Brjuno classique. Ce résultat met en lumière une symétrie inattendue et approfondit notre compréhension des structures mathématiques sous-jacentes.

 

Processus chaotiques

Les processus stochastiques modélisent des phénomènes qui évoluent aléatoirement dans le temps. Dans cette théorie, le mouvement Brownien occupe une place primordiale. Celui-ci est apparu pour la première fois dans la littérature scientifique lorsque le botaniste Robert Brown désirait décrire le mouvement de particules de pollen en suspension dans l'eau. Albert Einstein a également fait appel au mouvement Brownien dans ses travaux, lorsqu'il a lié celui-ci à l'équation de la chaleur.

L'étude des propriétés fines du mouvement Brownien a largement motivé l'avénement du calcul stochastique. On est alors amené naturellement à définir de nouveaux processus stochastiques qui sont obtenus via des intégrations multidimensionnelles à partir du mouvement Brownien. On considère de la sorte des processus qui "vivent" dans les chaos de Wiener.

Les processus de Hermite sont les exemples paradigmatiques de tels processus chaotiques. La structure complexe des chaos de Wiener laisse à l'heure actuelle encore de nombreuses questions concernant ces processus sans réponses. Pour tenter de palier ce problème, A. Ayache, J. Hamonier et L. Loosveldt ont obtenu, grâce à la théorie des ondelettes, une expression des processus de Hermite en une série (somme infinie) qui permet de distinguer clairement leur comportement aléatoire et leur évolution dans le temps. Cette décomposition a en particuler permis de réaliser les premières simulations par ordinateur des processus d'Hermite.

Les processus d'Hermite sont paramétrés par un indice de Hurst qui caractérisent notamment leur régularité. Les simulations présentées ci-dessous ont été réalisées pour des indices de Hurst variant entre 0,55 et 0,95. Plus l'indice de Hurst est grand, plus les trajectoires sont "lisses".

A. Ayache, J. Hamonier, L. Loosveldt. Wavelet-Type Expansion of Generalized Hermite Processes with rate of convergence. Constructive Approximation (2024).

 

Graphes de Rauzy

Lorsqu’on analyse une suite de symboles, on peut se servir d'une fenêtre de taille fixe qui glisse, un symbole à la fois, le long de la suite. On observe ainsi à travers cette fenêtre la succession des facteurs.

Par exemple, considérons la suite des chiffres 3141592..., qui correspond au développement décimal de Pi, et utilisons une fenêtre de taille 3. On observe d’abord le facteur 314, suivi de 141, 415, 159, et ainsi de suite. Ces différents facteurs peuvent être représentés par les sommets d’un graphe particulier, appelé graphe de Rauzy. Les enchaînements de facteurs sont quant à eux représentés par des arcs entre les sommets.

De manière intuitive, plus une suite est régulière, plus son graphe de Rauzy est contraint. Par exemple, une suite périodique comme 012012012... possède un graphe de Rauzy qui décrit un unique cycle de 3 sommets. À l’inverse, une suite dans laquelle tous les mots apparaissent donnera un graphe “complet” puisque tous les enchaînements sont possibles.

Dans un travail récent, des chercheurs se sont intéressés à la structure de suites de Thue-Morse généralisées. Pour analyser et dénombrer certains motifs, ils ont étudié les propriétés des graphes de Rauzy associés à ces suites et représentés ici. Ceux-ci dépendent de deux paramètres : la taille de la fenêtre utilisée et celle de l’alphabet.

M. Golafshan, M. Rigo, M. Whiteland, Computing k-binomial complexity of generalized Thue-Morse words, arXiv/2412.18425